Loi de probabilité et variable aléatoire

Probabilités - Mathématiques STMG

Exercice 1 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)\( -3 \)\( -1 \)\( 0 \)\( 6 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0,18 \)\( 0,25 \)\( 0,09 \)\( p \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = 0 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq 0 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Calculer la valeur de \( p \).

Exercice 2 : Test d'hypothèse pourcentage de population ayant une maladie

On fait l'hypothèse qu'une maladie touche \( 10 \)% de la population.
Afin de tester cette hypothèse, on évalue le cas de \( 300 \) personnes dans la population et on trouve que \( 12 \)% de ces personnes sont touchées par la maladie.

Doit-on rejeter l'hypothèse que \( 10 \)% de la population est malade, au risque d'erreur de \( 5 \)% ?

Exercice 3 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
35% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 15% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 3% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 8% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_1) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_3 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 4 : Loi de probabilités - Tableau à compléter

On étudie un dé truqué suivant la loi de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous.
{"header_top": ["Face 1", "Face 2", "Face 3", "Face 4", "Face 5", "Face 6"], "header_left": ["Probabilit\u00e9"], "data": [["\\dfrac{1}{4}", "3a", "\\dfrac{1}{4}", "2a", "a", "2a"]]}
Calculer la valeur de \(a\).

Exercice 5 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (deux tirages avec remise)

On tire successivement et avec remise deux cartes dans un jeu de 32 cartes. À chaque tirage, on gagne 1 € si la carte est rouge, on perd 8 € si la carte est un trèfle, et on gagne 4 € dans les autres cas.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.


Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire Aucun.
Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?", "?", "?", "?"], ["?", "?", "?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["\\( g_i \\)", "\\( P\\left(G=g_i\\right) \\)"]}
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